Binomium ontwikkeling
Als de eerste variabele in het binonium 1 is wordt de reeksontwikkeling
voor elke gehele, rationale en negatieve exponent.
Uitleg
Uit de hoofdstelling van de wiskunde volgt dat je (1 + x)n kunt schrijven als
en voor x = 0 geeft dat 1 = a0. De eerste afgeleide is
en voor x = 0 geeft dat n = a1. De tweede afgeleide is
en voor x = 0 geeft dat n(n − 1) = 2a2. Door invullen van a0, a1 en a2 krijg je
Voorbeeld 1
Voor negatieve exponenten ontstaan geometrische rijen
(1 + x)−1 = 1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 + x6 − x7 + ···
(1 + x)−2 = 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + 5x4 − 6x5 + 7x6 − 8x7 + ···