Cosinus
De cosinus wordt met complexe exponentiële functies gedefinieerd als
Uitleg
In de reeks voor de cosinus staan alleen even exponenten
We gebruiken de imaginaire eenheid om alle termen een plusteken te geven
Na verdubbeling krijg je
Hieraan voegen we oneven exponenten toe en trekken die er meteen weer van af
Herschikken geeft dan
Tussen haakjes staan twee reeksen voor exponentiële functies en daarom geldt
zodat
Geometrische uitleg
Met de eenheidscirkel kun je de horizontale afstand tussen de punten eix en −e−ix berekenen als | eix + e−ix |.
Daarom geldt voor de cosinus
cos x = ½ (eix + e−ix)
Voorbeeld 1
Je kunt zien dat cos (½π) = 0, want
Voorbeeld 2
Je kunt zien dat cos (0) = cos (2π) = cos (4π) = 1 want
Voorbeeld 3
Je kunt zien dat cos (π) = cos (3π) = −1 want
GeschiedenisDeze formule voor de cosinus werd door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler (1707 - 1783) beschreven. |