Косинус
Косинус определяется с помощью комплексных экспоненциальных функций как
Пояснение
В ряде для косинуса есть только четные экспоненты
Мы используем мнимую единицу, чтобы придать всем членам знак плюс
После удвоения получаем
К этому прибавляем и тут же вычитаем нечетные экспоненты
Перестановка дает
Для экспоненциальных функций существует два набора между фигурными скобками, поэтому
поэтому
Геометрическое объяснение
Используя единичную окружность, вы можете вычислить горизонтальное расстояние между точками eix и −e−ix как | eix + e−ix |.
Таким образом, для косинуса
cos x = ½ (eix + e−ix)
Пример 1
Вы видите, что cos (½π) = 0, потому что
Пример 2
Видно, что cos (0) = cos (2π) = cos (4π) = 1, потому что
Пример 3
Вы видите, что cos (π) = cos (3π) = −1, потому что
ИсторияЭта формула для косинуса была описана швейцарским математиком Леонгардом Эйлером(1707 - 1783). |