Opérateur différentiel

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Un opérateur différentiel considère la différenciation comme une opération abstraite, qui accepte une fonction et en renvoie une autre.

Nous pouvons écrire l’opérateur différentiel avec la lettre D comme

, , , ... etc.

Dans l’équation différentielle

nous substituons l’opérateur différentiel

Pour (1 + D²)^–1 nous utilisons le développement du binôme qui donne

et parce que Dx⁵ = 5x⁴, D²x⁵ = 20x³, D³x⁵ = 60x², D⁴x⁵ = 120x, D⁵x⁵ = 120, D⁶x⁵ = 0, etc., nous obtenons

La règle du produit peut être écrite avec les opérateurs différentiels comme

D(xψ) = (D(x))ψ + xD(ψ)

Nous convertissons cela en

D(xψ) – xD(ψ) = (D(x))ψ

et puisque D(x) = 1, on obtient

D(xψ) – xD(ψ) = 1ψ

Les opérateurs peuvent être traitées comme des nombres ordinaires

(Dx – xD)ψ = 1ψ

donc

Dx – xD = 1

Le physicien Anglais Oliver Heaviside (1850 - 1925) a proposé cette technique.