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韦特公式
根据韦达 的一般公式,多项式的系数可以用其根的和与积来表示。
说明
n 阶多项式
P(x) = anxn + an−1xn−1 + ··· + a2x2 + a1x + a0 = (x − x1)(x − x2) ··· (x − xn)
系数为实数或复数,其中 an ≠ 0,根据代数基本定理有 n 个零 x1, x2, ... , xn。计算公式
对于 j = 1, 2, ... , n
其中
例1
对于一级多项式
P(x) = x + a0 = (x − x1)
得出
−a0 = σ1 = x1
例2
对于二级多项式
P(x) = x2 + a1·x + a0 = (x − x1)(x − x2)
得
−a1 = σ1 = x1 + x2 a0 = σ2 = x1x2
例3
对于三次多项式
P(x) = x3 + a2·x2 + a1·x + a0 = (x − x1)(x − x2)(x − x3)
给出
−a2 = σ1 = x1 + x2 + x3 a1 = σ2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 −a0 = σ3 = x1x2x3
例4
对于四度多项式
P(x) = x4 + a3·x3 + a2·x2 + a1·x + a0 = (x − x1)(x − x2)(x − x3)(x − x4)
得出
−a3 = σ1 = x1 + x2 + x3 + x4 a2 = σ2 = x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 −a1 = σ3 = x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 a0 = σ4 = x1x2x3x4
历史这些公式是由法国数学家阿尔伯特-吉拉尔(1595 - 1632 年)提出的。 |