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韦特公式

根据韦达 的一般公式多项式系数可以用其来表示。

 


说明

n 多项式

P(x) = anxn  + an−1xn−1  + ··· + a2x2 + a1x + a0 = (x − x1)(x − x2) ··· (x − xn)

系数为实数或复数,其中 an ≠ 0,根据代数基本定理n x1, x2, ... , xn。计算公式

     对于   j = 1, 2, ... , n

其中

 


例1

对于一级多项式

P(x) = x + a0 = (x − x1)

得出

a0 = σ1 = x1

 


例2

对于二级多项式

P(x) = x2 + a1·x + a0 = (x − x1)(x − x2)

a1 = σ1 = x1 + x2
a0 = σ2 = x1x2

 


例3

对于三次多项式

P(x) = x3 + a2·x2 + a1·x + a0 = (x − x1)(x − x2)(x − x3)

给出

a2 = σ1 = x1 + x2 + x3
a1 = σ2 = x1x2 + x1x3  + x2x3
a0 = σ3 = x1x2x3

 


例4

对于四度多项式

P(x) = x4 + a3·x3 + a2·x2 + a1·x + a0 = (x − x1)(x − x2)(x − x3)(x − x4)

得出

a3 = σ1 = x1 + x2 + x3 + x4
a2 = σ2 = x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4
a1 = σ3 = x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4
a0 = σ4 = x1x2x3x4

 


历史

这些公式是由法国数学家阿尔伯特-吉拉尔(1595 - 1632 年)提出的。


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