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Relations entre coefficients et racines
Les relations de Viète permettent d'exprimer les coefficients d'un polynôme dans les sommes et les produits de ses racines.
Explication
Un polynôme du degré n
P(x) = anxn + an−1xn−1 + ··· + a2x2 + a1x + a0 = (x − x1)(x − x2) ··· (x − xn)
avec des coefficients réels ou complexes, dans lequel an ≠ 0, a selon le théorème fondamental de l'algèbre n zéros x1, x2, ... , xn. Les formules sont obtenues en calculant
pour j = 1, 2, ... , n
où
Exemple 1
Pour un polynôme du premier degré
ça donne
x1 = −p
Exemple 2
Pour un polynôme du second degré
ça donne
x1 + x2 = −p
x1x2 = q
Exemple 3
Pour un polynôme du troisième degré
ça donne
x1 + x2 + x3 = −p
x1x2 + x1x3 + x2x3 = q
x1x2x3 = −r
Exemple 4
Pour un polynôme du quatrième degré
ça donne
x1 + x2 + x3 + x4 = −p
x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = q
x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = −r
x1x2x3x4 = s
HistoireLes formules ont été développées par le mathématicien français Albert Girard (1595 - 1632). |