< 1 2 >
Formules van Viète
Met de algemene formules van Viète kunnen de coëfficiënten van een polynoom uitgedrukt worden in de sommen en de producten van hun wortels.
Uitleg
Een polynoom van de graad n
P(x) = anxn + an−1xn−1 + ··· + a2x2 + a1x + a0 = (x − x1)(x − x2) ··· (x − xn)
met reële of complexe coëfficiënten, waarin an ≠ 0, heeft volgens de hoofdstelling van de algebra n nulpunten x1, x2, ... , xn. De formules ontstaan door het uitrekenen van
voor j = 1, 2, ... , n
daarin is
Voorbeeld 1
Voor een eerstegraadspolynoom
P(x) = x + a0 = (x − x1)
geeft dit
−a0 = σ1 = x1
Voorbeeld 2
Voor een tweedegraadspolynoom
P(x) = x2 + a1·x + a0 = (x − x1)(x − x2)
geeft dit
−a1 = σ1 = x1 + x2 a0 = σ2 = x1x2
Voorbeeld 3
Voor een derdegraadspolynoom
P(x) = x3 + a2·x2 + a1·x + a0 = (x − x1)(x − x2)(x − x3)
geeft dit
−a2 = σ1 = x1 + x2 + x3 a1 = σ2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 −a0 = σ3 = x1x2x3
Voorbeeld 4
Voor een vierdegraadspolynoom
P(x) = x4 + a3·x3 + a2·x2 + a1·x + a0 = (x − x1)(x − x2)(x − x3)(x − x4)
geeft dit
−a3 = σ1 = x1 + x2 + x3 + x4 a2 = σ2 = x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 −a1 = σ3 = x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 a0 = σ4 = x1x2x3x4
GeschiedenisDe formules werden ontwikkeld door de Franse wiskundige Albert Girard (1595 - 1632). |