< 1 2 >
Формулы Вьета
Общие формулы Виета могут быть использованы для выражения коэффициентов многочлена через суммы и произведения его корней.
Пояснение
Многочлен степени n
P(x) = anxn + an−1xn−1 + ··· + a2x2 + a1x + a0 = (x − x1)(x − x2) ··· (x − xn)
с вещественными или комплексными коэффициентами, где an ≠ 0, имеет согласно основной теореме алгебры, n нулевых точек x1, x2, ... , xn. Формулы получаются путем вычисления
для j = 1, 2, ... , n
в ней
Пример 1
P(x) = x + a0 = (x − x1)
дает
−a0 = σ1 = x1
Пример 2
P(x) = x2 + a1·x + a0 = (x − x1)(x − x2)
дает
−a1 = σ1 = x1 + x2 a0 = σ2 = x1x2
Пример 3
Для многочлена третьей степени
P(x) = x3 + a2·x2 + a1·x + a0 = (x − x1)(x − x2)(x − x3)
дает
−a2 = σ1 = x1 + x2 + x3 a1 = σ2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 −a0 = σ3 = x1x2x3
Пример 4
Для многочлена четвертой степени
P(x) = x4 + a3·x3 + a2·x2 + a1·x + a0 = (x − x1)(x − x2)(x − x3)(x − x4)
дает
−a3 = σ1 = x1 + x2 + x3 + x4 a2 = σ2 = x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 −a1 = σ3 = x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 a0 = σ4 = x1x2x3x4
ИсторияФормулы были разработаны французским математиком Альбертом Жираром (1595 - 1632). |