Eulersche Zahl
Die Eulersche Zahl e = 2,7182… ist der Grenzwert
Erläuterung
Wir fangen an mit der Exponentialfunktion
Substitution in die Definition der Ableitung gibt
Eine Umrechnung ergibt dann
Für x = 0 ergibt das
Dies beschreibt eine Konstante, denn die Berechnung enthält keinen einzigen x mehr, und der Wert hängt nur ab von a, der Basis. Darum kann man jetzt schreiben
Wir möchten wissen für welchen Wert von a die Funktion f ′ (0) = 1 ist, denn dann wird f ′(x) = ax, und bleibt die Funktion unverändert. Fangen wir also an mit
Multiplizieren mit h
Verschieben
Umrechnen
Wir nehmen , und wegen h → 0 ergibt sich n → ∞, und also
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GeschichteDer Mathematiker Leonhardt Euler (1707 - 1783) ist bekannt für seine Beiträge zu dieser Konstante. |