Hauptwert (eines Logarithmus)
Der logarithmus einer komplexen Zahl z im Intervall [0, 2π) heisst der Hauptwert. Das Intervall (−π, π] kann auch genommen werden.
Erläuterung
Der Logarithmus einer komplexen Zahl z = r · eiφ ist
Eine komplexe Zahl schreibt man in Polarform als z = r · eiφ. Wenn wir annehmen, dass der Logarithmus davon die komplexe Zahl x + i y ergibt, dann bekommt man
Hierin sind
sodass
ln z = ln r + (φ + 2kπ) i
Der Logarithmus einer komplexen Zahl hat also unendlich viele Werte, die alle den gleichen reellen Teil ln r haben und die im imaginären Teil um ein Vielfach von 2π verschieden sind.
Für k = 0 bekommt man den Hauptwert.