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Newton-Identitäten
Die Newton-Identitäten sind zwei verschiedene Möglichkeiten, die Wurzel eines Polynoms zu beschreiben. Insbesondere beziehen sie Summen von Potenzen auf elementare symmetrische Polynome.
Erläuterung
Sie werden auf den Wurzeln eines Polynoms P in einer Variablen berechnet und ermöglichen es, die Summen der k-ten Potenzen aller Wurzeln von P in Thermen der Koeffizienten von P auszudrücken, ohne diese Wurzeln selbst zu finden.
Beispiel 1
Bei der Berechnung von Fourier's Formel für π werden die Nullstellen der Sinc-Funktion benutzt in der Form
Mit Hilfe der Newtonschen Identitäten lassen sich die Koeffizienten von x2 berechnen als
GeschichteDiese Identitäten wurden um 1666 von dem englischen Mathematiker Isaac Newton beschrieben, offenbar in Unkenntnis einer früheren Arbeit des französischen Ingenieurs Albert Girard aus dem Jahr 1629. |