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Inverser Kosinus

Der inverse Kosinus schreibt man mit Logarithmen als

 

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Erläuterung

Wir fangen an mit dem Kosinus

Substitution von e^iθ = k gibt

Wir rechnen nur weiter mit der positiven Lösung und substituieren k = e^iθ, sodass

An beiden Seiten nehmen wir den Logaritmus

Substitution von θ = arccos x ergibt

 

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Gegenseitige Beziehungen

 

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Beispiel 1

Man kann sehen, dass cos⁻¹(1) = 0, denn

cos⁻¹(1) = −i ln (1 + √0) = −i ln 1 = 0

 

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Beispiel 2

Man kann sehen, dass cos⁻¹(−1) = π = 3,141592..., denn

cos⁻¹(−1) = −i ln (−1 + √0) = −i ln (−1) =  −i ·π i =  −i² · π = π

da ln (−1) = πi.

 

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Beispiel 3

Man kann sehen, dass cos⁻¹(0) = 1,57079632…, denn

cos⁻¹(0) = −i ln (√−1) = −i ln (i) =  −i · ½π i = ½π

da ln (i) = ½π i.

 

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