Kettenregel
Mit der Kettenregel kann man die Ableitung zusammengesetzter Funktionen auf Ableitungen einfacherer Funktionen zurückführen. Die Kettenregel lautet
Erläuterung
Wir nehmen die zusammengestellte Funktion
f (x) = y = v (u (x))
Dann gilt
Das ist klar, denn es sind nur unterschiedliche Schreibweisen. Aber jetzt machen wir einen extra Schritt
Das kann man allerdings nicht so ohne weiteres machen. Wenn Δx nach Null geht, darf Δu nicht Null werden, denn sonnst entsteht ein Bruch wo der Nenner 0 ist, und das ist undefiniert. Das werden wir gleich nachprüfen. Für den Grenzwert eines Produktes gilt
Da Δx sich Null nähert wird auch Δu sich Null nähern oder sogar Null werden. Beim ersten Grenzwert substituieren wir den x durch einen u, und bekommen
Um auch die Möglichkeit Δu zu beherrschen notieren wir
So stellen wir fest das allgemein gelten muss
Du kannst wohl raten wie das weiter geht.
Beispiel 1
Wir nehmen die zusammengestellte Funktion
und substituieren u = x2 + 3 somit entsteht
Bei Anwendung der Kettenregel ergibt die Ableitung
und schließlich
Wenn wir die Funktion erst auflösen erhalten wir
Natürlich finden wir die gleiche Antwort.
Beispiel 2
Mit der Kettenregel berechnen wir die Ableitung von y = 2u2– 2 mit u = 3x + 1