Logarithmus einer komplexen Zahl
Der Logarithmus einer komplexen Zahl ist die mehrwertige Funktion
ln z = ln r + (φ + 2kπ) i
Erläuterung
Eine komplexe Zahl schreibt man in Polarform als z = r · eiφ. Wenn wir annehmen, dass der Logarithmus davon die komplexe Zahl x + i y ergibt, dann bekommt man
Hierin sind
sodass
ln z = ln r + (φ + 2kπ) i
Der Logarithmus einer komplexen Zahl hat also unendlich viele Werte, die alle den gleichen reellen Teil ln r haben und die im imaginären Teil um ein Vielfach von 2π verschieden sind.
Für k = 0 bekommt man den Hauptwert.
Beispiel 1
Negative Zahlen sind ein Sonderfall von komplexen Zahlen. So ist z = −1 eine komplexe Zahl auf dem Einheitskreis mit Radius r = 1 und einem Halbkreis gedreht φ = π. Der Logarithmus von −1 hat einen Hauptwert von
ln (−1) = ln (1) + πi = πi