Reihe für den Logarithmus
Der Logaritmus hat die Reihenentwicklung
Erläuterung
Beim Berechnen der Reihe für den Logarithmus können wir nicht arbeiten mit f (x) = ln x, denn das ist nicht definiert für x = 0. Statt dessen nehmen wir darum die Funktion
die ein brauchbares Ergebnis liefert. Diese Funktion werden wir einige Male differenzieren
was man schreiben kann als
Das ist ein erstaunlicher regelmaß. Die Taylorreihe füllen wir damit aus
Substitution von x = x – 1 gibt die endgültige Form
Beispiel 1
Man kann sehen, dass ln 1 = 0, denn
ln 1 = (0) − (0) + (0) − (0) + ⋯ = 0