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洛必达法则 ∞/∞

假设对于某个实开区间 (c, b) 中的所有 xf ′(x)g ′(x) 都存在,且 g ′(x) ≠ 0。假设

      和      

如果 limx→ c (f ′(x) / g ′(x)) 存在,那么洛必达法则成立

 


解释

L = limx→ c (f ′(x) / g ′(x))。根据均值定理,每个实数的解都是

c < x < y < c + r

的每一个实解都是

x < t < y,       

我们将其写成

x < t < y,       

y1 ≈ c y1 > c。则 f (y1)g (y1) 为正无穷,它们的乘积 K = f (y1g (y1) 也是如此。根据 limx→ c g ′(x) = ∞Mδ 条件,对于每一个实数 M,都有一个实数 δ (M),使得每个实数解

c < x < c + δ (M)

g (x) > M 的一个解。让 δ1 是这样的: 0 < δ1≤ δ (K) 并且 c + δ1 < y1。考虑任何 x1c < x1 < c + δ1。根据转移原理g (x1) > K。此外

c < x1 < y1 < c + x

所以根据部分解决定理,有一个 t1,使公式成立。那么

同时

所以 (f (y1) / g (x1)) ≈ 0。同样,(g (y1) / g (x1)) ≈ 0。取公式中的标准部分,我们有

因此

由于这在 c < x1 < c + δ1 时成立,我们从极限的定义中可以看出

 


历史

德裔美国数学家亚伯拉罕-罗宾逊1960 年初是这样描述法国数学家纪尧姆-德-伊凡的这条规则的。


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