正弦 - Maeckes

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带指数函数的正弦函数写为

我们将所有条款乘以 2i，得到

通过转换为虚数单位，所有条款都得到一个加号

这也可以写成

在此基础上，我们再加上和减去偶数指数

重新排列后得到

在括号之间有两组指数函数，所以我们有

那么

通过单位圆，你可以计算出 e^ix 和 e^−ix 两点之间的垂直距离为 | e^ix − e^−ix |。

因此，对于正弦

i · sin x = ½ (e^ix − e^−ix)

你可以看到，sin (2π) = 0，因为

你可以看到，sin (½π) = 1，因为

你可以看到，sin² (¾π) = 0,5，因为

这个正弦波的公式是由瑞士数学家萊昂哈德·歐拉（1707-1783）描述的。