<    1      2      3      4      6      8    >

---

Синус

Синус с экспоненциальными функциями записывается как

 

---

Пояснение

В ряде для синуса есть только нечетные экспоненты

Умножим все члены на 2i и получим

При переводе в мнимую единицу все члены получают знак плюс

Это также можно записать как

К этому мы сразу прибавляем и вычитаем четные экспоненты

Перестановка дает

Между скобками находятся два набора экспоненциальных функций, поэтому

так что

 

---

Геометрическое объяснение

Используя единичную окружность, можно вычислить вертикальное расстояние между точками e^ix и e^−ix как | e^ix − e^−ix |.

Таким образом, для синуса

i · sin x = ½ (e^ix − e^−ix)

 

---

Пример 1

Вы видите, что sin (2π) = 0, потому что

 

---

Пример 2

Вы видите, что sin (½π) = 1, потому что

 

---

Пример 3

Видно, что sin² (¾π) = 0,5, потому что

 

---

История Эта формула для синуса была описана швейцарским математиком Леонгардом Эйлером (1707 - 1783).

---

Deutsch   English   Español   Français   Nederlands   中文