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Differential einer höheren Potenz

Das Differential einer höheren Potenz ist

d (xn) = n xn − 1 dx

 


Erläuterung

Sie können dieses Differential berechnen mit

d (xn) = (x + dx)n − xn

Verwenden Sie für (x + dx)n die Binomium-Entwicklung, dann erhalten Sie

d (xn) =  xn  + n xn − 1 dx + ···      − xn

Wir schreiben nur die ersten beiden Terme des Binomiums, da alle weiteren Terme höhere Exponenten von dx haben, die vernachlässigbar sind, und diese werden verschwinden, also

d (xn) = n xn − 1 dx

Die Formel gilt für jeden ganzen, rationalen und negativen Exponenten.

 


Beispiel 0

d (x0) = 0

a = 0

 


Beispiel 1

d (x1) = 1 dx

 

 


Beispiel 2

d (x2) = 2x dx

 

 


Beispiel 3

d (x3) = 3x2 dx

 


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