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Differential einer höheren Potenz
Das Differential einer höheren Potenz ist
d (xn) = n xn − 1 dx
Erläuterung
Sie können dieses Differential berechnen mit
d (xn) = (x + dx)n − xn
Verwenden Sie für (x + dx)n die Binomium-Entwicklung, dann erhalten Sie
d (xn) = xn + n xn − 1 dx + ··· − xn
Wir schreiben nur die ersten beiden Terme des Binomiums, da alle weiteren Terme höhere Exponenten von dx haben, die vernachlässigbar sind, und diese werden verschwinden, also
d (xn) = n xn − 1 dx
Die Formel gilt für jeden ganzen, rationalen und negativen Exponenten.
Beispiel 0
d (x0) = 0
d a = 0
Beispiel 1
d (x1) = 1 dx
Beispiel 2
d (x2) = 2x dx
Beispiel 3
d (x3) = 3x2 dx