Binomialkoeffizient
Die Koeffizienten für die aufeinanderfolgenden Terme in der Entwicklung des Binomiums mit rationalen Exponenten können wie folgt geschrieben werden
Der obere Bruch m/n ist der Exponent des Binomiums, die untere Zahl k ist die laufende Nummer des Terms im Ergebnis.
Erläuterung
Wir werden die Tabelle für die Entwicklung der Binomialkoeffizienten um rationale Exponenten erweitern. Eine Zahl ergibt sich aus der Summe der Zahl direkt unter ihr und links von ihr. Sie können es in der vorletzten Zeile sehen unter
Alle Zeilen haben unendlich viele Terme.
m/n 0 1 2 3 4 5 k → ∞ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 5/2 ··· 3/2 ··· 1/2 ··· 0/2 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ··· −1/2 ··· −3/2 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
Für gebrochene Exponenten gilt die Formel
GeschichteIm Jahr 1676 gab der englische Mathematiker Isaac Newton in einem Brief folgende Informationen über seine Formel wobei A, B, C, … immer den unmittelbar vorangehenden Begriff bezeichnet. Damit berechnen wir die Quadratwurzel aus und erhalten Heutzutage arbeiten wir mit Taylorreihen. Die Reihe für die Quadratwurzel ergibt natürlich genau die gleiche Lösung. |