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二项式系数

带负指数的二项式发展中的二项式系数可以写成

上面的数字 n 是二项式的指数，下面的数字 k 是结果中项的流水号。

 

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解释

一个数字是由它右边和左边的数字之和组成的。你可以在 −120 = −330 + 210 中看到它。

n		0	1	2	3	4	5	6	7	8	k → ∞
···		···	···	···	···	···	···	···	···	···	···
−5		1	−5	15	−35	70	−126	210	−330	495	···
−4		1	−4	10	−20	35	−56	84	−120	165	···
−3		1	−3	6	−10	15	−21	28	−36	45	···
−2		1	−2	3	−4	5	−6	7	−8	9	···
−1		1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	···
0		1	◦	◦	◦	◦	◦	◦	◦	◦	···
1		1	1	◦	◦	◦	◦	◦	◦	◦	···
2		1	2	1	◦	◦	◦	◦	◦	◦	···
3		1	3	3	1	◦	◦	◦	◦	◦	···
4		1	4	6	4	1	◦	◦	◦	◦	···
5		1	5	10	10	5	1	◦	◦	◦	···
6		1	6	15	20	15	6	1	◦	◦	···
7		1	7	21	35	35	21	7	1	◦	···
8		1	8	28	56	70	56	28	8	1	···
···		···	···	···	···	···	···	···	···	···	···

可以立即注意到，对于负指数来说，每一行都有无限多的项，而且，正负系数交替出现，变得越来越大。对于负指数，公式为

你不能对正指数使用这个公式。我们计算 (a + b)⁻⁴ 的二项式系数，发现

我们可以写出

这就是

你现在可以亲眼看到

 

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例1

对于 n = 4，公式为

我们只能在 a = 1 的情况下处理这个系列，因为这时它说

如果 b  ≤ 1，就会出现一个收敛的序列

 

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