Binomiaalcoëfficiënt
De binomiaalcoëfficiënten voor de termen in de ontwikkeling van het binomium met negatieve exponenten, kun je schrijven als
Het bovenste getal n is de exponent uit het binomium, het onderste getal k is het lopende nummer van de term in de uitkomst.
Uitleg
Een getal ontstaat uit de som van de getallen recht erboven en links erboven. Je ziet het aan −120 = −330 + 210.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 k → ∞ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· −5 1 −5 15 −35 70 −126 210 −330 495 ··· −4 1 −4 10 −20 35 −56 84 −120 165 ··· −3 1 −3 6 −10 15 −21 28 −36 45 ··· −2 1 −2 3 −4 5 −6 7 −8 9 ··· −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 ··· 0 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ··· 1 1 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ··· 2 1 2 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ··· 3 1 3 3 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ··· 4 1 4 6 4 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ··· 5 1 5 10 10 5 1 ◦ ◦ ◦ ··· 6 1 6 15 20 15 6 1 ◦ ◦ ··· 7 1 7 21 35 35 21 7 1 ◦ ··· 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
Het valt direct op dat voor de negatieve exponenten iedere rij oneindig veel termen heeft en, dat er afwisselend positieve en negatieve coëfficiënten ontstaan die steeds groter worden. Voor negatieve exponenten is de formule
Deze formule kun je niet gebruiken voor positieve exponenten. We berekenen de binomiaalcoëfficiënten van (a + b)−4 en vinden
.gif){kind=small}
.gif){kind=small}
.gif){kind=small}
.gif){kind=small}
.gif){kind=small}
.gif){kind=small}
We kunnen schrijven
Dit is
Je kunt nu zelf vaststellen dat
Voorbeeld 1
Voor n = 4 wordt de formule
Met deze reeks kunnen we alleen werken als a = 1, want dan staat er
Als b ≤ 1 ontstaat een convergerende reeks