Binomium Entwicklung
In seiner einfachsten Form lautet das Binomium
Erläuterung
Die Binomiumentwicklung ergibt
⁰ = 1.gif){kind=small}
¹ = a + b.gif){kind=small}
² = a² + 2ab + b².gif){kind=small}
³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.gif){kind=small}
⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.gif){kind=small}
⁵ = a⁵ + 5a⁴ b + 10a³ b² + 10a² b³ + 5a b⁴ + b⁵.gif){kind=small}
⁶ = a⁶ + 6a⁵ b + 15a⁴ b² + 20a³ b³ + 15a² b⁴ + 6a b⁵ + b⁶.gif){kind=small}
Wir suchen eine logische Struktur. Jeder Term kann man schreiben in der Form
Koeffizient × am bn
Die Entwicklung der Koeffizienten entspricht dem Dreieck von Pascal.
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
Eine Zahl wird gebildet durch die Summe von der Zahl links und rechts darüber. In den Reihen nehmen die Zahlen erst zu, und dann nehmen sie wieder ab. Genau das gibt es auch bei Kombinationen. Dort steht die Formel
Die obere Zahl n ist die Potenz vom Binomium, die untere Zahl k ist die laufende Nummer der Terme im Ergebnis. Wir schreiben deswegen
Man kann leicht festellen, dass
Das kann man auch schreiben als
aber das ist Geschmackssache. In seiner einfachsten Form lautet das Binomium