Développement du binôme
Dans sa forme la plus simple, la formule du binôme (bi signifie les 2 lettres a et b) est
Explication
Nous écrivons le binôme et voir
⁰ = 1.gif){kind=small}
¹ = a + b.gif){kind=small}
² = a² + 2ab + b².gif){kind=small}
³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.gif){kind=small}
⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.gif){kind=small}
⁵ = a⁵ + 5a⁴ b + 10a³ b² + 10a² b³ + 5a b⁴ + b⁵.gif){kind=small}
⁶ = a⁶ + 6a⁵ b + 15a⁴ b² + 20a³ b³ + 15a² b⁴ + 6a b⁵ + b⁶.gif){kind=small}
Chaque terme a la forme générale
coefficient × am bn
Le développement des coefficients va selon le triangle de Pascal.
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
Un nombre est la somme du nombre sur la gauche et la droite, juste au-dessus de lui. Dans les lignes, les nombres augmentent dans un premier temps et diminuent en conséquence par la suite. Cela que vous voyez également lors du calcul des combinaisons. Il y a la formule
Le nombre n supérieur est la puissance du binôme, le nombre k en bas est le nombre actuel de l’expression. Nous pouvons écrirer
Vous pouvez facilement voir que
ce que vous pouvez également écrire comme
mais c’est juste une question de goût. Dans sa forme la plus simple, la formule du binôme est