Binomischer Lehrsatz
Das Binomium mit negativen Exponenten ist der Bruch
worin n eine natürliche Zahl ist.
Erläuterung
Wir schreiben das Binomium und sehen
Die Entwicklung der Binomialkoeffizienten für negative Exponenten folgt dem Pascal-Dreieck. Eine Zahl ergibt sich aus der Summe der Zahlen genau darüber und links darüber. Man sieht es an −120 = −330 + 210.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 k → ∞ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· −5 1 −5 15 −35 70 −126 210 −330 495 ··· −4 1 −4 10 −20 35 −56 84 −120 165 ··· −3 1 −3 6 −10 15 −21 28 −36 45 ··· −2 1 −2 3 −4 5 −6 7 −8 9 ··· −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 ··· 0 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ··· 1 1 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ··· 2 1 2 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ··· 3 1 3 3 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ··· 4 1 4 6 4 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ··· 5 1 5 10 10 5 1 ◦ ◦ ◦ ··· 6 1 6 15 20 15 6 1 ◦ ◦ ··· 7 1 7 21 35 35 21 7 1 ◦ ··· 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
Es fällt sofort auf, dass für negative Exponenten jede Reihe unendlich viele Terme hat. Es entsteht eine Abwechslung von positiven und negativen Koeffizienten, die ständig zunehmen. Für negative Exponenten ist die Formel
Die obere Zahl n ist die Potenz vom Binomium, die untere Zahl k ist die laufende Nummer der Terme im Ergebnis. Diese Formel kann man nicht benutzen für positive Exponenten. Wir schreiben deswegen
Man kann selbst feststellen, dass
Beispiel 1
Für n = 4 ergibt die Formel
Diese Reihe kann man nur verwenden wenn a = 1, denn das ergibt
Für b ≤ 1 entsteht eine konvergierende Reihe