Formule du binôme
Le binôme avec les exposants négatifs est la fraction
où n est un entier naturel.
Explication
Nous écrivons le binôme en détail comme
Le développement des coefficients binomiaux pour des exposants négatifs est selon le triangle de Pascal. Un nombre est la somme du nombre juste au-dessus et sur la gauche. Vous le voyez à −4 = −5 + 1 dans la ligne avant dernier.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 k → ∞ 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 ◦ 6 1 6 15 20 15 6 1 ◦ ◦ 5 1 5 10 10 5 1 ◦ ◦ ◦ 4 1 4 6 4 1 ◦ ◦ ◦ ◦ 3 1 3 3 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ 2 1 2 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ 1 1 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ 0 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 ··· −2 1 −2 3 −4 5 −6 7 −8 9 ··· −3 1 −3 6 −10 15 −21 28 −36 45 ··· −4 1 −4 10 −20 35 −56 84 −120 165 ··· −5 1 −5 15 −35 70 −126 210 −330 495 ···
Vous remarquerez, que pour les exposants négatifs chaque ligne a infiniment beaucoup de termes. Ceux-ci ont des coefficients alternativement positives et négatives qui deviennent de plus plus en plus grandes. Pour des exposants négatifs, la formule est
Le nombre supérieur n est l’exposant du binôme, le nombre inferieur k est le nombre actuel du terme dans le résultat. Vous ne pouvez pas utiliser cette formule pour les exposants positifs. Nous pouvons écrire
Vous pouvez déterminer vous-même que
Exemple 1
Pour n = 4, la formule est
Avec cette série, nous ne pouvons travailler que si a = 1, parce que nous avons alors
Si b ≤ 1 une séquence convergente est crée