Биномиальная формула
Биномиальная формула с отрицательными экспонентами представляет собой дробь
где n - натуральное число.
Пояснение
Мы выписываем биномиальную формулу и видим
Эволюция биномиальных коэффициентов для отрицательных экспонент следует треугольнику Паскаля. Число возникает из суммы чисел, расположенных справа и слева от него. Вы можете увидеть это на −120 = −330 + 210.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 k → ∞ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· −5 1 −5 15 −35 70 −126 210 −330 495 ··· −4 1 −4 10 −20 35 −56 84 −120 165 ··· −3 1 −3 6 −10 15 −21 28 −36 45 ··· −2 1 −2 3 −4 5 −6 7 −8 9 ··· −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 ··· 0 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ··· 1 1 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ··· 2 1 2 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ··· 3 1 3 3 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ··· 4 1 4 6 4 1 ◦ ◦ ◦ ◦ ··· 5 1 5 10 10 5 1 ◦ ◦ ◦ ··· 6 1 6 15 20 15 6 1 ◦ ◦ ··· 7 1 7 21 35 35 21 7 1 ◦ ··· 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
Het valt direct op dat voor de negatieve exponenten iedere rij oneindig veel termen heeft. Er ontstaan afwisselend positieve en negatieve coëfficiënten, die steeds groter worden. Voor negatieve exponenten is de formule
Het bovenste getal n is de exponent van het binomium, het onderste getal k is het lopende nummer van de term in de uitkomst. Deze formule kun je niet gebruiken voor positieve exponenten. We kunnen schrijven
Je kunt nu zelf vaststellen dat
Voorbeeld 1
Voor n = 4 wordt de formule
Met deze reeks kunnen we alleen werken als a = 1, want dan staat er
Als b ≤ 1 ontstaat een convergerende reeks