Канторовское вещество
Канторовское вещество состоит из всех вещественных чисел в единичном интервале, которые не имеют цифры 1 в тринитарной системе счисления.
Пояснение
Конечные точки представлены в системе счисления по основанию 3..
03 0,013 0,023 0,13 0,23 0,213 0,223 13 Шаг 0 Шаг 1 Шаг 2 Шаг 3 Шаг 4 Шаг 5
Конечные точки
Конечные точки никогда не удаляются. Поскольку на каждом шаге мы удаляем конечное число интервалов, а число шагов счетно, множество конечных точек также счетно бесконечно.
Интервалы
На шаге 1 мы удаляем числа между 0,13 и 0,23. Поскольку 0,13 равно 0,0222…3, мы удаляем все числа с 1 в первом десятичном разряде.
На шаге 2 мы удаляем числа между 0,013 и 0,023 и числа между 0,213 и 0,223. Поскольку 0,013 равно 0,00222…3 , а 0,213 равно 0,20222...3 , мы удаляем все числа с 1 во втором десятичном разряде.
На шаге 3 мы удаляем все числа с 1 в третьем десятичном разряде и так далее.
В оставшихся числах десятичные знаки состоят только из 0 и 2.
Кардинальность
Если мы заменим 2 на 1 в оставшихся числах, то получим ровно все числа двоично десятичного представления. Набор этих чисел Неперечислимо бесконечное.
Поэтому множество Кантора имеет ту же кардинальность, что и интервал [0,1] а значит, и множество вещественных чисел..
Заключение
Если убрать все интервалы, то количество оставшихся точек станет не меньше, чем количество точек, с которых мы начинали. Это, конечно, поразительно.