التوافيق
يمكن كتابة عدد التوافيق لاختيار r عناصر من مجموعة مكوَّنة من n عناصر، دون النظر إلى الترتيب، على الصورة
ويُطلق عليها ”from n Choose r“ باللغة الإنجليزية.
صيغة الحساب
تلفظها 6 على 3، أو 5 على 2، أو 3 إلى 1. وهي ليست محددة بدقة. إنها تساوي
والتي يمكنك كتابتها أيضًا على الصورة
الشرح
سنأخذ الحروف ABCD ونلعب بها. دعونا نرى كم عدد التوليفات المختلفة من 2 حرفًا التي يمكنك تكوينها باستخدام هذه الحروف البالغ عددها 4 حرفًا. إذا لم يكن ترتيب الحروف مهمًا، فسيتبقى لدينا 6 تركيبات
AB = BA
AC = CA
AD = DA
BC = CB
BD = DB
CD = DC
نطلق على ذلك عدد التوافيق 2 من 4، ونحسب أن
نواصل ذلك لفترة من الوقت، ونجد عدد التوليفات 3 من أصل 4. إذا كان ترتيب الحروف غير ذي صلة، فلا يتبقى لدينا سوى 4 مجموعات فقط
ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA
ABD = ADB = BAD = BDA = DAB = DBA
ACD = ADC = CAD = CDA = DAC = DCA
BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB
نطلق على ذلك عدد التوافيق المكونة من 3 من 4، ونحسبها أيضًا
إذا أخذت جميع الأحرف الـ 4، ولا يهم الترتيب، فإن جميع الاختلافات الـ 24 متساوية مع بعضها البعض، وتبقى 1 مجموعة فقط
ABCD = DCBA وهكذا دواليك
نطلق على ذلك عدد التوافيق المكونة من 4 من 4، ونحسبها أيضًا
حسب التعريف، يتحدد أن 0! ≝ 1، وهذا مفيد لنا الآن. وللاستكمال، نلقي نظرة أيضًا على ما يحدث إذا أخذنا 1 حرفًا فقط. لا يوجد ترتيب هنا، لذا هناك بالفعل 4 تركيبات
A
B
C
D
نطلق على ذلك عدد التوافيق 1 من 4، ونحسب أيضًا عدد التوافيق التي تحتوي على
وللاستكمال، نلقي نظرة أيضًا على ما يحدث للصيغة إذا لم نأخذ أي حرف. سنقوم بالحسابات على أي حال
نسمي هذا عدد التوافيق 0 من 4 (إذا أردت أن تسميه كذلك). ما نحصل عليه من هذا ليس واضحًا لنا الآن، لكن الصيغة يمكن أن تتحمله. ومع ذلك، لم نتناول ظاهرة واحدة حتى الآن. انظر مرة أخرى إلى الحسابات التي واجهناها على طول الطريق
وقفوا أمام
بالتأكيد، هذا أمر ملفت للنظر. في البداية تزداد الأعداد، ثم تنخفض مرة أخرى. ومرة أخرى، يبدو الأمر منطقيًا إذا نظرت عن كثب إلى العاملين في مقام الصيغة. فكلما زاد العامل الأول، انخفض العامل الثاني في المقابل. يمكنك بسهولة تحديد ذلك بشكل عام
,
, و
الآن نريد أن نعرف حقًا. لذلك، أخيرًا، نتحقق أخيرًا من حالة خاصة، حيث قد تقترب n من ما لا نهاية
مع الكسر، يكون البسط والمقام حول ”نفس اللانهاية“، ولحسن الحظ يختفي. لذا فهو محسوم.
مثال 1
يمكنك حساب أن 4C2 = 6، لأن
التاريخسُميت هذه الأعداد أيضًا بأعداد باسكال، تكريمًا لعالم الرياضيات الفرنسي بليز باسكال (1623 - 1662). |