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Combinaisons
Le nombre des combinaisons pour choisir r éléments parmi un ensemble de n éléments, sans faire attention aux sequence, peut être écrite comme
et s'appelle en anglais 'from n Choose r'.
Formule de calcul
C'est égale à
ce que on peut écrire comme
Explication
Nous prenons les lettres ABCD et allons jouer. Nous allons voir combien de combinaisons différentes de 2 lettres vous pouvez faire avec ces 4 lettres. Si l’ordre des lettres ne joue pas un rôle, nous avons 6 combinaisons
AB = BA
AC = CA
AD = DA
BC = CB
BD = DB
CD = DC
Cela s’appelle le nombre de combinaisons de 2 sur 4 et nous calculons
Nous continuons et cherchons le nombre de combinaisons de 3 sur 4. Si l’ordre des lettres ne joue pas un rôle, nous avons seulement 4 combinaisons
ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA
ABD = ADB = BAD = BDA = DAB = DBA
ACD = ADC = CAD = CDA = DAC = DCA
BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB
Cela s’appelle le nombre de combinaisons de 3 sur 4 et nous calculons
Si vous prenez tous les 4 lettres et l’ordre ne joue pas un rôle, ça laisse seulement 1 combinaison
ABCD = DCBA … et ainsi de suite
Cela s’appelle le nombre de combinaisons de 4 sur 4, que nous calculons aussi
Par définition, il est prévu que 0! ≝ 1, et cela nous aide maintenant. Par souci d’exhaustivité, nous attendons également que se passe quand nous prenons seulement 1 lettre. Il n’y a pas d'ordre, donc on a vraiment 4 combinaisons
A
B
C
D
C’est ce qu’on appelle le nombre de combinaisons de 1 sur 4, que nous calculons aussi
Par souci d’exhaustivité, nous regardons aussi ce qui se passe avec notre formule, quand nous n’avons pas une lettre. On va quand même calculer
Cela s’appelle le nombre de combinaisons de 0 sur 4 (si vous voulez l’appeler comme ça). Ce que nous entendons n’est pas clair, mais la formule marche bien. Pourtant, nous n'avons pas encore examiné un phénomène. Regardez à nouveau les calculs que nous avons rencontrés
Ils se tenaient
Qui est frappante. Exécuter les numéros sur la première et de les exécuter puis reparti. Et aussi ici c’est encore logique si vous avec précision les deux facteurs dans le dénominateur de la formule a l’air. Si le premier facteur augmente, le second facteur diminue par conséquence. Vous pouvez facilement voir que en général
,
et
Nous vérifions encore un cas particulier, où n s'approche l'infini
Dans la fraction il s'agit dans le numérateur et le dénominateur du « même l’infini », qui heureusement disparait.
HistoireCes nombres ont également été appelés nombres de Pascal, en hommage au mathématicien français Blaise Pascal (1623 - 1662). |