< 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 >
Pascal-Dreieck
Das Pascalsche Dreieck zeigt die Koeffizienten vom Binomium mit negativen Exponenten
als geometrischen Folgen.
Erläuterung
Wir erweitern das Pascalsche Dreieck für die Entwicklung von Binomialkoeffizienten um negative Exponenten. Eine Zahl entsteht aus der Summe von der Zahl links und rechts darüber.
−8 1 −8 36 −120 330 ··· −7 1 −7 28 −84 210 −462 −6 1 −6 21 −56 126 −252 ··· −5 1 −5 15 −35 70 −126 210 −4 1 −4 10 −20 35 −56 84 ··· −3 1 −3 6 −10 15 −21 28 −36 −2 1 −2 3 −4 5 −6 7 −8 ··· −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Es fällt sofort auf, dass für negative Exponenten jede Reihe unendlich viele Terme hat die immer grösser werden und abwechselnd positive und negatieve Koeffizienten darstellen. Es ergibt die Koeffizienten von geometrischen Folgen
(1 + x)−1 = 1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 + x6 − x7 + ···
(1 + x)−2 = 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + 5x4 − 6x5 + 7x6 − 8x7 + ···