< 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 >
Triangle de Pascal
Le triangle de Pascal montre les coefficients du binôme avec les exposants négatifs
comme des suites géométriques.
Explication
Nous allons écrire le triangle de Pascal pour le développement des coefficients binomial avec les exposants négatifs. Un nombre est la somme du nombre à gauche et à droite il juste au-dessus.
−8 1 −8 36 −120 330 ··· −7 1 −7 28 −84 210 −462 −6 1 −6 21 −56 126 −252 ··· −5 1 −5 15 −35 70 −126 210 −4 1 −4 10 −20 35 −56 84 ··· −3 1 −3 6 −10 15 −21 28 −36 −2 1 −2 3 −4 5 −6 7 −8 ··· −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Vous remarquerez, que pour les exposants négatifs chaque ligne a infiniment beaucoup de termes. Ceux-ci ont des coefficients alternativement positives et négatives qui deviennent de plus plus en plus grandes. Ils forment les coefficients des séquences géométriques
(1 + x)−1 = 1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 + x6 − x7 + ···
(1 + x)−2 = 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + 5x4 − 6x5 + 7x6 − 8x7 + ···