Exponentiële functie
De exponentiële functie geeft de formule van Euler in de vorm
Uitleg
De reeks voor de exponentiële functie kun je splitsen in
Tussen haakjes staan de reeksen voor de hyperbolische cosinus en de hyperbolische sinus. Dit mag je zo schrijven omdat deze beide reeksen absoluut convergent zijn. Dus we stellen vast
Substitutie van x = −x in de reeks voor de exponentiële functie geeft
Dus we stellen vast
Verdere berekeningen
Deze beide vergelijkingen optellen geeft
en aftrekken geeft
Dit zijn de definities van de hyperbolische sinus en de hyperbolische cosinus.
GeschiedenisDe formule van Cotes-De Moivre-Euler werd in 1748 door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler beschreven. |