Euler's Formel für pi
Der Wert π = 3,1415… kann mit der von dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler entwickelten Formel berechnet werden
Erläuterung
Man kann dieses uneigentliche Integral umwandeln in
Bei Auswertung der Integrale in der letzten Summe, durch numerische Integration, bekommt man
k 0 1,85194 1 0,43379 2 0,25661 3 0,18260 ∆ ∆2 ∆3 ∆4 4 0,14180 −2587 5 0,11593 799 −1788 −321 6 0,09805 478 153 −1310 −168 7 0,08495 310 −1000 8 0,07495
Die Summe bis k = 3 beträgt
1.85194 − 0,43379 + 0,25661 − 0,18260 = 1,49216
Wendet man die Euler-Transformation auf den Rest an, erhält man
= 0,07090 + 0,00647 + 0,00100 + 0,00020 + 0,00005
= 0,07862
Wir erhalten den Wert des Integrals als
1,4962 + 0,07862 = 1,57078
im Vergleich zu 1,57080.
GeschichteDer Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707 - 1783) entwickelte diese numerische Integration. |