Formule voor pi
Een formule voor π waarin een oneigenlijke integraal van de sinc-functie staat, luidt
Hiermee kun je de waarde π = 3,1415… berekenen door middel van een numerieke integratie.
Uitleg
We gaan
berekenen met een integratie in het complexe vlak. We kunnen schrijven
en
Invullen in de formule van Euler geeft dan
Voor de pool z = 0 geldt
Met de pool buiten de behuizing. Laten we de pool z = 0 afscheiden door hem te omringen met een halve cirkel (γ) met straal r. We kunnen schrijven
De tweede integraal geeft −iπ als z → 0
en de vierde integraal geeft volgens dezelfde redenering 0 als R → ∞
Als we dit invullen krijg je voor R → ∞
en dus geldt
zodat
GeschiedenisDe Zwitserse wiskundige Leonhard Euler (1707 - 1783) heeft de waarde van π met deze formule berekend. |