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Gamma-Funktion
Die Gamma-Funktion, angegeben mit dem griechischen Großbuchstaben Γ ist eine Erweiterung der Fakultätsfunktion auf komplexen Zahlen und ist definiert als
Erläuterung
Dieses unechte Integral hat die wichtige Eigenschaft, dass Г( p) = ( p – 1) ! ist, worin p eine ganze Zahl größer oder gleich 1 ist.
Eigentlich ist die Fakultätsfunktion ein spezieller Fall von der Gamma-Funktion, da
für alle natürlichen Zahlen n.
Eigenschaften
1. Für p = 1
2. Substitution von t = x2 ⇒ dt = 2x dx ergibt
dann, für bekommt man
Beispiel 1
Die Fakultät der transzendenten Zahl π kann man berechnen als
Beispiel 2
Die Fakultät der transzendenten Zahl e kann man berechnen als
Beispiel 3
Die Fakultät der imaginären Einheit i kann man berechnen als
i! = Γ(1 + i) ≈ 0,4980 − 0,1549i
Beispiel 4
Die Gamma-Funktion wird in der Reihe für den inversen Kosinus verwendet
GeschichteDie Gamma-Funktion wurde 1729 vom Schweizer Mathematiker Leonhard Euler beschrieben. |