Zahl e
Die Zahl e = 2,7182… ist die Summe der umgekehrten Fakultäten
Erläuterung
Nur für die Funktion f (x) = ex gilt
und für x = 0 hat sie den Wert 1. Kann man anhand dieser Daten eine unendliche Reihe dafür entwickeln? Lassen Sie es uns versuchen. Beim Differenzieren nimmt eine Potenz um 1 ab. Wir beginnen mit der Reihe
und erhalten
Dies ist nicht korrekt. Die Reihe beginnt nun mit einer 1 (das hatten wir vergessen) und die Exponenten müssen noch erfasst werden. Also, ein zweiter Versuch
und jetzt sehen wir
Auch das ist nicht richtig, denn die Brüche sind alle verschwunden. Wir müssen uns etwas einfallen lassen, um sie zu halten. Ein dritter Versuch mit
und dort sehen wir
Das scheint richtig zu sein. Und das ist eigentlich ganz logisch. Aber wir überprüfen es, indem wir noch einmal differenzieren
Das funktioniert gut, und auch für x = 0 bleibt der Wert immer 1. Man kann dies mit Fakultäten schreiben als
Dann können wir die Zahl e berechnen, denn für x = 1 erhalten wir
Darin werden die aufeinanderfolgenden Termen
1/0! = 1,0000
1/1! = 1,0000
1/2! = 0,5000
1/3! = 0,1667
1/4! = 0,0417
1/5! = 0,0083
1/6! = 0,0014
-------
e = 2,718…
Die Antwort ist auf 3 Stellen genau.