Nombre e
Le nombre e = 2,7182… est la somme des factorielles inverses
Explication
Seulement pour la fonction f (x) = ex s'applique
et pour x = 0 il a la valeur 1. Peut-on développer une série infinie pour cela sur la base de ces données ? Essayons. En différencier, une puissance diminue de 1. Nous commençons par la série
et obtenons
Ce n'est pas correct. La série commence maintenant par un 1 (nous l'avions oublié) et les exposants doivent encore être saisis. Donc, un deuxième essai
et maintenant nous voyons
Ce n'est toujours pas correct non plus, car les fractions ont toutes disparu. Nous devons penser à quelque chose pour les garder. Une troisième tentative avec
et voilà
Cela semble être juste. Et c'est en fait assez logique. Mais nous le vérifions en différenciant une fois de plus
Cela fonctionne bien, et aussi pour x = 0 la valeur reste toujours 1. Vous pouvez écrire ceci avec des factorielles comme
On peut alors calculer le nombre e, car pour x = 1, on obtient
Dans celui-ci, les termes successifs sont
1/0! = 1,0000
1/1! = 1,0000
1/2! = 0,5000
1/3! = 0,1667
1/4! = 0,0417
1/5! = 0,0083
1/6! = 0,0014
-------
e = 2,718…
La réponse est exacte à 3 chiffres près.