Grandi-reeks
Voor de oneindige Grandi-reeks
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ?
bestaat geen oplossing. Maar hoe ontstaat zoiets nu?
Voorbeeld 1
De eerste afgeleide van de inverse tangens is
De reeks voor de inverse tangens is
en de afgeleide daarvan wordt
dus geldt de vergelijking
Hieruit volgt
en als we ons nergens aan storen vinden we zelfs
.gif){kind=small}
Laten we dit eens voorzichtig controleren. Voor x = 0 krijg je dan
en dat klopt natuurlijk niet. Nu eens met x = 1, dan zie je
en dat klopt ook niet. Als je in de oorspronkelijke vergelijking x = 0 invult levert dat
en dat is wel juist. Wij lieten ons nergens door storen, en vervingen 1 + 1 – 1 + 1 – 1 ··· zonder meer door 0, ofschoon dit onbepaald is. Dat bleef niet ongestraft. Voor de volledigheid vullen we in de oorspronkelijke formule ook nog eens x = 1 in
en dat is niet juist. We hebben dus nog een fout gemaakt. Dat hebben we ook, want de reeks voor de inverse tangens is alleen geldig voor |x| < 1.
GeschiedenisDe Italiaanse wiskundige Guido Grandi schreef over deze reeks in 1703. |