< 1 >
Hyperreëel getal
In de niet-standaard analyse wordt een hyperreëel getal gebruikt om oneindige en infinitesimale hoeveelheden te behandelen.
Uitleg
De verzameling van hyperreële getallen wordt aangeduid met het symbool *R. Deze verzameling is een uitbreiding van R en wordt de ∗-transformatie van R genoemd.
| • | Hyperklein getal Voor elk niet nul hyperklein getal ε geldt dat het geïnverteerd kan worden en het resultaat is het getal ω = 1 / ε. |
| • | Hypergroot getal Voor het hypergrote getal ω geldt dat |ω| > m voor alle m ∈ N. Als ω positief is kunnen we berekenen m < √ω < ω / 2 < ω − 1 < ω < ω + 1 < 2ω < ω2We hebben ook (ω + 1)·(ω − 1) = ω2 − 1 of (ω + 1) + (ω − 1) = 2ω. Dit geldt zeker niet voor oneindig ∞, dat helemaal niet als een getal wordt beschouwd. |
Voorbeelden
De verschillende hyperreële getallen hebben bijzondere eigenschappen.
ε ≃ 0 Het hyperkleine getal ε is asymptotisch gelijk aan nul. δ ≈ 0 Het hyperkleine getal δ is bij benadering gelijk aan nul, maar is niet nul. ω ~ ∞ Het hypergrote getal +ω is positief en heeft dezelfde orde van grootte als plus-oneindig +∞. Het verschil tussen +ω en +∞ is niet hyperklein. −ω ~ −∞ Het hypergrote getal −ω is negatief en heeft dezelfde orde van grootte als min-oneindig −∞. Het verschil tussen −ω en −∞ is niet hyperklein.
GeschiedenisDe Duits-Amerikaanse wiskundige Abraham Robinson definieerde hyperreële getallen in het begin van 1960. |