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Identität für Kettenbrüche
Die Formel von Euler für Kettenbrüche ist eine Identität
Erläuterung
Mit einer Terme kann man einen Bruch entwickeln
aber das ist noch kein Kettenbruch. Mit zwei Terme funktioniert es, denn
und man kann das schreiben als
Mit drei Terme sieht man zum ersten Mal, dass eine Iteration entsteht
Für einen Moment betrachten wir b (1 + c) getrennt und schreiben den Kettenbruch vorläufig als
Darin teilen wir den Zähler und Nenner im jeweiligen Bruch durch 1 + c und erhalten
Im Nenner des gleichen Bruchs addieren wir 1 dazu und ziehen es sofort wieder davon ab
so
Der Klarheit halber fahren wir mit vier Terme fort und sehen die Iteration
Hier betrachten wir c (1 + d) separat und schreiben den Kettenbruch zuerst als
Wir teilen jetzt durch 1 + d und erhalten
Dieses Schema wiederholt sich immer wieder.
GeschichteDiese Formel wurde vom Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707 - 1783) entwickelt. |