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Identité pour des fractions continues
La formule d'Euler pour des fractions continues est une identité
Explication
Avec une seul terme, vous pouvez développer une fraction
mais ce n'est pas encore une fraction continue. Avec deux termes, ça marche, parce que
et vous pouvez l'écrire comme
Avec trois termes, vous voyez survenir pour la première fois une itération
Pour le moment, nous considérons b (1 + c) séparément, et écrivons provisoirement la fraction continue comme
On y divise le numérateur et le dénominateur dans la fraction respective par 1 + c et on obtient
Dans le dénominateur de cette même fraction, on y ajoute 1 et on le soustrait immédiatement
donc
Par souci de clarté, nous continuons avec quatre termes et voyons l'itération
Ici nous considérons c (1 + d) séparément, et écrivons d'abord la fraction continue comme
Nous divisons maintenant par 1 + d et obtenons
Cet horaire se répète encore et encore.
HistoireCette formule a été développée par le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 - 1783). |