Implizite Ableitung
Wenn es nicht möglich ist y explizit als Funktion von x auszudrucken, muss man die implizite Ableitung benutzen. Man schreibt es mit dem differentialoperator als
wobei das Symbol bedeutet »nehme die Ableitung von …«.
Erläuterung
Die Kettenregel wird dabei oft benutzt in der Form
um die Ableitungen der Terme mit y zu bestimmen. Manchmal ist es auch einfach bequemer oder eleganter die Ableitung einer Gleichung implizit zu bestimmen.
Beispiel 1
Die Funktion f (x) = xx kann nicht ohne weiteres nach x abgeleitet werden, denn sowohl der Exponent als auch der Basis sind variabel. Den Exponent eliminieren wir indem wir zuerst der Logarithmus nehmen
was wir umrechnen nach
Nun leiten wir beide Seiten implizit nach x ab
Die linke Seite kann mit der Kettenregel berechnet werden
Mit der Ableitung des Logarithmus und der Produktregel erhält man
Multiplizieren mit y ergibt
Setze wieder y = xx ein, dann ist die Lösung
Beispiel 2
Der Kreis mit Radius r ist gegeben durch die Gleichung x2 + y2 = r2. Durch implizit Ableiten erhält man
Daraus folgt, dass die Tangente an den Kreis im Punkt (x, y) die Steigung hat.
Beispiel 3
Impliziete Ableitung der Funktion x y – 3x – 2y + 5 = 0
sodass