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Dérivées implicites
Quand il n'est pas possible d'exprimer y explicitement comme une fonction de x, il faut différencier implicitement. Vous l'écrivez avec l'opérateur différentiel comme
où ce symbole est l'abréviation de « prenez la dérivée de... ».
Explication
La règle de la chaîne est souvent utilisée dans la forme
pour déterminer les dérivés des termes avec y dedans. Parfois il est simplement plus facile de différencier une fonction implicite, plutôt qu'explicite.
Exemple 1
La fonction f (x) = xx ne peut être facilement dérivée de x, car l'exposant et la base sont tous deux variables. Nous éliminons l'exposant en prenant d'abord le logarithme
ce que nous convertissons en
Maintenant, nous déduisons implicitement les deux côtés à x
Le côté gauche peut être calculé avec la règle de la chaîne
Avec la dérivation du logarithme et la règle de produit, vous obtenez
Multipliez par y donne
Mettez à nouveau y = xx, alors la solution est
Exemple 2
Le cercle avec rayon r est donné par l'équation x2 + y2 = r2. Par dérivation implicite, on obtient
Il s'ensuit que la tangente au cercle dans le point (x, y) a la pente .
Exemple 3
Dérivation implicite de la fonction x y – 3x – 2y + 5 = 0
alors