Impliciet differentiëren
Wanneer het in een vergelijking niet mogelijk is om y expliciet uit te drukken als functie van x, dan moet je impliciet differentiëren. Je schrijft het met de differentiaaloperator als
waarbij dit symbool staat voor "neem de afgeleide van …".
Uitleg
De kettingregel wordt daarbij veelvuldig gebruikt in de vorm
om de afgeleiden van de termen met y erin te bepalen. Soms is het ook gewoon eenvoudiger om een functie impliciet te differentiëren, in plaats van expliciet.
Voorbeeld 1
De functie f (x) = xx kan niet gemakkelijk naar x worden afgeleid, omdat zowel de basis als de exponent variabel zijn. We nemen eerst de logaritme hiervan
want voor de logaritme van een macht geldt
Nu kunnen we beide leden impliciet naar x afleiden
Het linkerlid kun je met de kettingregel berekenen
De afgeleide van de logaritme en de productregel geven
Vermenigvuldigen met y geeft
Substitueer y = xx, dan is de oplossing
Voorbeeld 2
De cirkel met straal r wordt gegeven door de vergelijking x2 + y2 = r2. Door impliciet afleiden krijg je
Hieruit volgt dat de raaklijn aan de cirkel in het punt (x, y) de helling heeft.
Voorbeeld 3
Impliciet differentiëren van de functie x y – 3x – 2y + 5 = 0 geeft
zodat