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Vorwort
Mathematik ist eine sehr flexible Sprache. Es gibt viele Möglichkeiten, die gleiche Berechnung auszudrücken. Sieh dir die einfache Division mal an
Das kannst du auch schreiben wie
oder als
Das sind noch keine großen Unterschiede. Ist doch egal, wie schräg der Bruchstrich gezogen wird. Ein Buchhalter schreibt jedoch lieber
und das sieht schon wieder ganz anders aus. In der Grundschule hast du gelernt, wie eine Division berechnet wird
Das zeigt, wie es gemacht wird. Du siehst, es gibt viele Möglichkeiten um das Gleiche darzustellen. So ist das immer in der Mathematik. Aber auch hier gilt: Viele Wege führen nach Rom. Auf dem Gymnasium hast du noch eine andere Methode gelernt
Wir rechnen heutzutage mit 10 Ziffern, den sogenannten arabischen Ziffern. Sie wurden übrigens in Indien erfunden. What is in a name? Wenn du Zahlen addierst, arbeitest du von rechts nach links, obwohl wir immer von links nach rechts schreiben. Deswegen werden Zahlen rechts ausgerichtet, das kommt von den Arabern, aber es ist dir wahrscheinlich nie so aufgefallen. Die Schreibweise ist
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Hier fängst du mit 0 an. Du hast gelernt, dass es eine etwas eigenartige Zahl ist, denn dividieren durch Null ist nicht erlaubt. Früher wurden römische Zahlen benutzt. Ab und zu werden die zur Dekoration auf Gebäuden verwendet. Die Schreibweise ist
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ
Die Zahl 0 kommt hier nicht vor. Null ist ja nichts. Es wurde Jahrhunderte lang darüber gestritten, ob 0 eine Zahl ist. Das wirst du später noch am eigenen Leibe erfahren. Denn warum ist eigentlich
Die Antwort lautet
Das gilt so für jede Zahl. Also berechne bitte mal
Teilen durch Null ist nicht zulässig. Multiplizieren mit 0 ist erlaubt, denn
Oh, das ist komisch. Für diese Art von Problem gibt es in der Mathematik eine elegante Lösung. Es heißt, dass etwas per Definition bestimmt ist. Und so ist 00 ≝ 1. Es hat sich nämlich gezeigt, dass Berechnungen meistens zu einem richtigen Ergebnis führen wenn für 00 ≝ 1 genommen wird, aber du musst immer Acht geben und sorgfältig prüfen, ob es in deinem speziellen Fall auch stimmt. Die Ausnahme bestätigt die Regel.
Ziffern wurden von Menschen erfunden. Die Natur funktioniert anders. Es gibt auch den Begriff Unendlich. In der Mathematik benutzt man dafür das Symbol ∞. Aber gib Acht: Unendlich ist keine Zahl. Du kannst ruhig damit rechnen, und manchmal mit erstaunlichen Folgen, denn
∞ + ∞ = ∞
und sogar gilt
0 × ∞ = ?
Wenn du mit Null multiplizierst, wird es also nicht immer 0. Aber vielleicht wundert dich das jetzt schon nicht mehr.
Es kann noch schlimmer werden. Es gibt Zahlen die man nicht genau aufschreiben kann. Die bekannteste Zahl ist pi, dafür benutzt man den griechischen Buchstaben π. Du kennst es von den Formeln für Kreise
Den alten Griechen war schon aufgefallen, dass es eine Konstante gibt, die das Verhältnis zwischen Umfang eines Kreises und den Durchmesser D angibt
π = Umfang D
und die auch das Verhältnis zwischen Oberfläche und Radius r ist
π = Oberfläche r2
Ihr Wert beträgt
Es wurden schon eine Trillion Zahlen hinterm Komma berechnet, und es entsteht nie ein Muster das sich wiederholt. Mathematiker haben gezeigt, dass dies auch nicht passiert, und nennen es eine transzendente Zahl.
Eine andere berühmte Zahl ist e, die Grundzahl des natürlichen Logarithmus. Die braucht man, um auszurechnen wie Bazillen sich vermehren, oder um zu berechnen wie radioaktive Strahlung abschwächt. Der Wert beträgt
Auf dieser Website wird beschrieben wie diese Zahl entdeckt wurde, und wie man damit rechnet. Übrigens haben Mathematiker gezeigt, dass es unendlich viele transzendente Zahlen gibt. Aber niemand kennt sie, und wir haben keine Ahnung wofür man die benutzen sollte. Das ist höhere Mathematik.
Beschäftigen wir uns doch lieber mit etwas Einfacherem. Wenn man die unendliche Reihe
zusammenzählt, kannst du damit ewig weiter gehen. Es geht aber auch schneller. Denn pass mal auf. Du kannst etwas verdoppeln, und den ursprünglichen Wert davon subtrahieren. Dann erhältst du den Originalwert wieder, denn
2 × 3 − 3 = 3
oder
2 Birnen − 1 Birne = 1 Birne
So machst du es auch mit der unendlichen Reihe, also
dann gibt das
und das ist wiederum
Es ist genau 1, und nicht so etwas mysteriöses wie »Im Unendlichen nähert es 1«. Den feinen Unterschied zwischen theoretisch Unendlich und wirklich Unendlich sollte man immer berücksichtigen.
Jetzt betrachten wir auch noch das unendlich Kleine. In der Mathematik schreibt man das meistens als Δx→0 und es bedeutet: Es nähert 0, ist jedoch ungleich 0, und deswegen ist eine Division mit dieser Zahl erlaubt. Manchmal muss man sogar unterscheiden zwischen
Wenn du denkst das wäre verwirrend, betrachte dann erst folgendes
Das ist klar. Aber folgendes kann man auch erklären
Wenn wir in beiden Berechnungen die Klammern weg lassen, dann steht dort
und jetzt wissen wir auf einmal die Antwort nicht mehr. Was ist hier nun faul? Mathematiker verabscheuen Berechnungen, wo dieses Phänomen auftritt. Macht es dir Spaß? Möchtest du mehr wissen über Nichts, Unendlich oder mehr als Unendlich? Dann musst du weiter lesen.
Beim Rechnen muss man ab und zu etwas Hokuspokus anwenden. Und wofür braucht man Mathematik nun eigentlich? Ja, das musst du dir selbst überlegen. In den meisten Berufen wird ohne jegliche Mathematik gearbeitet. Trotzdem ist es vielleicht interessant zu erfahren, was so alles möglich ist – oder gerade nicht.
Die Zukunft kann man damit nicht voraussagen.