Logarithme d'un nombre complexe
Le logarithme d'un nombre complexe est la fonction à valeurs multiples
ln z = ln r + (φ + 2kπ) i
Explication
Un nombre complexe s'inscrire avec coordonnées polaires comme z = r · eiφ. Si nous supposons que le logarithme de cette nombre est le nombre complex x + i y, vous obtenez
Dans lequel
donc
ln z = ln r + (φ + 2kπ) i
Le logarithme d'un nombre complexe a un nombre infini de valeurs, qui ont tous la même partie réelle ln r et leur partie imaginaire est un multiple de 2π les uns des autres.
Pour k = 0 vous obtenez la valeur principale.
Exemple 1
Les nombres négatifs sont un cas particulier des nombres complexes. Parce que z = −1 est un nombre complexe sur le cercle unité avec un rayon r = 1 et un demi-cercle tourné φ = π. Le logarithme de −1 a une valeur principale de
ln (−1) = ln (1) + πi = πi