Maclaurinsche Reihe
Für Funktionen kann man oft Maclaurinsche Reihen benutzen, damit Berechnungen vereinfacht werden
Erläuterung
Wir nehmen eine kubische Funktion
 = ax³ + bx² + cx + d.gif){kind=small}
Von dieser Funktion errechnen wir mehrere Ableitungen und schreiben diese sorgfältig auf, dann sehen wir
Da zeigt sich eine auffallende Regelmäßigkeit. Die Koeffizienten der Terme entwickeln sich immer weiter, werden schließlich null, und verschwinden deswegen. Das wird noch deutlicher an der Stelle x = 0, denn dort gibt es
Hier sehen wir eine Fakultät und schreiben die auch
Anders gerechnet ergibt das
,
,
,
Da wird klar, dass die Koeffizienten der ursprünglichen Funktion bestimmt werden von den Ableitungen dieser Funktion an der Stelle x = 0. Wenn wir das ausfüllen entsteht
Die Terme schreiben wir in der umgekehrten Reihenfolge, und sehen
Wir sagen ganz frech, dass allgemein gelten muss
und das ist tatsächlich so.
Beispiel 1
Die Exponentialfunktion hat für alle Werte von x die Reihenentwicklung
GeschichteDer schottische Mathematiker Colin Maclaurin (1698 - 1746) ist vor allem für diese Reihe bekannt. |