Maclaurin-reeks
Met een Maclaurin-reeks kun je functies omrekenen zodat berekeningen eenvoudiger worden
taylor  = f⁽⁰⁾(0) ∕ 0! + {f⁽¹⁾(0) ∕ 1!}x + {f⁽²⁾(0) ∕ 2!}x² + {f⁽³(0) ∕ 3!}x³+ ⋯ .gif)
Uitleg
De hoofdstelling van de wiskunde zegt dat er altijd een functie gemaakt kan worden in de vorm
Hier nemen we een derdegraadsfunctie die we schrijven als
 = ax³ + bx² + cx + d.gif){kind=small}
Deze functie gaan we meerdere malen differentiëren, schrijven dat heel nauwkeurig op, en zien dan
Daar zit een strenge regelmaat in. De coëfficiënten van de termen ontwikkelen zich steeds verder, worden uiteindelijk nul en verdwijnen daardoor. Dat is vooral duidelijk zichtbaar op het punt x = 0 want daar krijg je
Hier herkennen we een faculteit, en schrijven dit daarom als
Omvormen levert
,
,
,
De coëfficiënten van de originele functie worden bepaald door de afgeleiden van deze functie in het punt x = 0. Als we dat invullen ontstaat
We zetten de termen in de omgekeerde volgorde, en zien
Dit geldt voor een derdegraadsfunctie. We zeggen nu heel brutaal dat algemeen wel moet gelden
en dat blijkt inderdaad zo te zijn.
Voorbeeld 1
De exponentiële functie heeft voor elke waarde van x de reeksontwikkeling
GeschiedenisDe Schotse wiskundige Colin Maclaurin (1698 - 1746) is vooral bekend om de Maclaurin-reeksen. |