Minus-unendlich
Wir wissen gar nicht was unendlich ist. Das hört sich vielleicht komisch an, aber es gibt Niemanden, der sich das wirklich vorstellen kann. Mathematiker regen sich darüber nicht sonderlich auf. Rechnen mit Plus-unendlich ist möglich, rechnen mit Minus-unendlich funktioniert auch. Aber gib Acht: Unendlich ist keine Zahl.
Erläuterung
Zuerst addieren wir
Das funktioniert so für jede Zahl, auch wenn die sehr groß ist. Jedoch gilt
−∞ + ∞ = ﹖
und ist selbstverständlich unbestimmt. Eigentlich ist das logisch, denn ∞ hat ja keinen festen Wert. Du kannst auch subtrahieren
und sogar
Multiplizieren geht auch. Wir tun es hier mit einer positiven Konstante k und sehen dann
Natürlich ergibt
was es auch bedeuten mag. Jetzt wenden wir uns der Division zu. Dabei musst du immer gut aufpassen, und hier ganz besonders. Denn
Hier kann man sich noch etwas einfallen lassen um es zu erklären. Jedoch
?
Unendlich hat ja keinen festen Wert. Wenn dieser Bruch auf eine andere Art entsteht, gibt es eine Lösung, denn
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Hier geht es um n→−∞ und das bedeutet: Es nähert sich Minus-unendlich, aber ist es nicht. Im Zähler und Nenner handelt es sich um den gleichen (unendlichen) Wert. Deswegen ist die Division erlaubt. Jetzt geht es richtig los
So merkwürdig ist das nun auch nicht. Die Zahl 0 kann Probleme bereiten, und ∞ ist nicht mal eine Zahl. Sieh dir die Division noch mal an, da wurde dieses Ergebnis schon angedeutet. Zusätzlich auch noch dividieren durch unendlich klein, was wir hier schreiben als
Hier rechnet man mit Δx→0− und es bedeutet: Es nähert sich 0 aus dem Negativen her, ist aber nicht gleich 0, und deswegen ist diese Division zulässig. Man kann es noch bunter treiben, dann schreibt man einfach etwas wie
,
,
und so weiter.
Es ist bestimmt lustig, aber das wollen wir hier nicht mehr erörtern.